Необходимые документы

1. Ветеринарный паспорт.
2. Справка о состоянии здоровья. Выдается государственной ветеринарной клиникой. Должна быть оформлена в течение 3-х (в правилах у авиакомпании UTair – аж 2-х) дней до вылета. В справке указываются сведения о прививках. При этом оговаривается, что последняя вакцинация должна быть проведена не ранее, чем за год и не позднее, чем за один (хотя Аэрофлот требует все два) месяц до выезда. При путешествии самолетом необходимо поставить отметку в ветеринарной службе аэропорта.
3. Квитанция об оплате за перевозку

На международных рейсах также потребуются:

1. международный ветеринарный сертификат;
2. справка о племенной ценности животного;
3. документы, требуемые ветеринарными органами страны прибытия или транзита.

Тут ничего подробнее сказать не могу, поскольку пределы России покидать не собирались и детально этот вопрос не изучался.

Правила Российских железных дорог

Перевозка в поездах мелких домашних животных, собак и птиц допускается сверх установленной нормы провоза ручной клади во всех вагонах (кроме вагонов с 2-местными купе (СВ) и вагонов повышенной комфортности).

Животные перевозятся в контейнерах (ящиках, корзинах, клетках), которые должны помещаться на местах для ручной клади. При перевозке владельцы или сопровождающие должны соблюдать санитарно-гигиенический режим.

В поездах перевозка собак крупных пород производится в намордниках и с поводком:
- в нерабочем тамбуре первого за локомотивом вагона (не более двух собак);
- в отдельном купе купейного вагона, кроме вагонов повышенной комфортности (не более двух собак), с оплатой полной стоимости всех мест в купе;
- в тамбуре пригородного поезда (не более двух собак).

Собак-проводников слепые пассажиры провозят с собой бесплатно в вагонах всех категорий.

Допускается перевозка домашних животных в багажном вагоне. В этом случае животные должны перевозиться в специальных контейнерах или в таре с поддоном (в корзинах, клетках, ящиках), гарантирующей от порчи находящийся в вагоне багаж, а сам вагон от загрязнения. Животные принимаются для перевозки не более чем за 1 час до отправления поезда.

Подробнее: http://pass.rzd.ru/wps/portal/pass?STRUCTURE_ID=5120

Правила авиакомпаний

Что касается авиакомпаний, то основные требования у них одни и те же:

1. Перевозка животных осуществляется только по предварительному согласованию с авиакомпанией, а также с разрешения стран прибытия или транзита при международных перелетах. При бронировании или приобретении авиабилета пассажир обязан проинформировать о перевозке животных. Животные принимаются к перевозке только в сопровождении взрослого пассажира.

2. Животное при перевозке воздушным транспортом должно быть помещено в контейнер надежной конструкции, с доступом воздуха и крепким замком. Дно контейнера (клетки) должно быть водонепроницаемым и покрыто абсорбирующим материалом, по периметру дна должен быть борт, исключающий просыпание абсорбирующего материала.

3. На животных не распространяется норма бесплатного провоза багажа. Перевозка животных оплачивается по тарифу для сверхнормативного багажа, исходя из фактической массы животного вместе с контейнером (клеткой).

4. Собаки-поводыри, сопровождающие пассажиров с отсутствием зрения/слуха перевозятся в салоне воздушного судна бесплатно сверх установленной нормы бесплатного провоза багажа, при наличии соответствующей дрессировки (удостоверяется сертификатом) и при условии, что на такой собаке имеется ошейник и намордник и она привязывается к креслу у ног владельца.

Различия в правилах авиакомпаний в основном касаются веса перевозимого животного, размеров контейнера и возможности перевозки в салоне, например:

Авиакомпания «Сибирь» (S7)
Перевозка животных в салоне самолета не допускается – только в багажном отделении.
http://www.s7.ru/ru/flight_info/flying_with_us/luggage_transporting.html#art_4_11

Авиакомпания «Трансаэро»
Перевозка животных в салоне не допускается – только в багажном отделении. От контейнера требуется «достаточность размеров».
http://www.transaero.ru/airport/animals.html

ГТК «Россия»
Разрешается перевозить животных в салоне, масса которых вместе с контейнером не превышает 8 кг, при этом габариты контейнера в сумме трех измерений должны быть не более 115см. Контейнер с животным должен быть размещен у ног или на руках у пассажира. Животные, масса которых вместе с контейнером превышает 8 кг, перевозятся в грузовом отсеке.
http://www.pulkovo.ru/ru/passenger/your_baggage/animals/

Аэрофлот
Провоз животных в салоне самолета разрешается, если вес животного с контейнером не превышает 8 кг. Размер контейнера при этом в сумме длины/высоты/ширины не должен превышать 115 см.
Если вес животного с клеткой превышает 8 кг, то путешествие для него возможно лишь в багажном отсеке. Размер контейнера при этом должен позволять животному вставать в полный рост и поворачиваться на 360 градусов.
Авиакомпания оставляет за собой право ограничить число животных, которое можно перевозить одним рейсом.
http://www.aeroflot.ru/information.aspx?ob_no=362

Utair
Допускается перевозка животных в салоне самолета при их весе вместе с контейнером: на внутрироссийских рейсах – не более 40 кг, на международных рейсах – не более 4 кг. Сумма трех измерений контейнера не должна превышать 160см. Контейнер должен иметь ручки для переноски. Животные, вес которых больше указанных нормативов, перевозятся только в багажном отсеке.
http://www.utair.ru/ru/transp/useful/animals/

Уральские авиалинии
К перевозке в салоне принимаются домашние животные в контейнерах (клетках), не превышающих размеры ручной клади (45*35*25см) для перевозки на руках пассажира. Общий вес клетки с животным не должен превышать 8 кг. Для перевозки кошек и собачек весом не более 3 кг можно использовать плетеные контейнеры. В порядке исключения допускается перевозка животных в плотно закрываемых корзинах либо коробках, с отверстиями для доступа воздуха.
В пассажирском салоне воздушного судна разрешена перевозка не более двух собак. Перевозка антагонистических животных (собака - кошка) в одном пассажирском салоне запрещена.
В случае невозможности перевозки домашних животных в салоне, их перевозка осуществляется в багажных отсеках (кроме самолетов типа А-320 и Ан-24). Размеры контейнера в этом случае не должны превышать габариты 100х100х50 см. Масса животного с учетом веса контейнера должна быть не более 30 кг. Контейнер должен проветриваться с трех сторон (с основной вентиляцией в верхней части). Вентиляционные отверстия должны быть такого размера, чтобы животное не могло просунуть сквозь них нос или лапы, не иметь острых краев, выступов. В конструкцию контейнера должны входить ручки, для обеспечения переноса.
http://www.uralairlines.ru/info/for_passenger/notice/pets_rules

Авиакомпания «Самара»
Перевозка животных осуществляется только в салоне экономического класса и багажно-грузовом отсеке. К перевозке в салоне воздушного судна допускаются домашние животные в контейнерах/клетках, масса которых вместе с контейнером/клеткой не превышает 10 кг.
Общее количество животных, перевозимых в салоне ВС, не должно превышать 5.
http://www.samara-airlines.ru/info/animal.php

Sky Express
Перевозка животных в пассажирских салонах воздушных судов не допускается, только в багажных отсеках. Суммарный вес животного и контейнера (клетки) не должен превышать 50 кг. Сумма трех измерений контейнера/клетки не должны превышать 230 см.
http://www.skyexpress.ru/how_to_depart/transfer-rules/traffic_rules/#12.6

И капля дегтя - к сожалению, берясь за перевозку животных, авиакомпании не берут на себя никакой ответственности за телесные повреждения, потерю, задержку в доставке, болезнь или смерть перевозимых животных во время транспортировки. Хотя это вряд ли кого-то остановит.